Наши догадки, как и мнение Павла, оказались верными. Перегорело реле на кнопке запуска. Отрезали на реле провода - всё стало работать как надо. Сейчас вот не знаю: искать это реле или просто оставить неработающую кнопку (но этого делать не хочется - не люблю, когда что-то в машине не работает, пусть это будет та же кнопочка, которой я за месяц пользовался всего раза 2-3).
Даже не знал, толи радоваться, толи плакать - перебрали пол машины из-за какого-то реле, которое спокойно лежало на обшивке в районе ключа зажигания.
Зато теперь представляю, как устроен стартер и как разбирать и чистить его, хоть какой-то плюс
Всем, кто откликнулся, огромное спасибо!